FACTORIZACIÓN:
¿Qué es factorizar un polinomio?
Factorizar significa transformar en producto. Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x2 + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).
¿ Por qué se llama factorizar o factorar?
Se llama asi debido a que los elementos que se van a multiplicar se llaman factores. En el ejemplo anterior (x + 2).(x + 1) son factores.
Casos de factoreo:
Factor común o primer caso:
¿Por qué se llama "Factor común"?
Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común".
Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común".
Pasos para sacar factor común:
1.- Divido a todos los términos por ese factor. La
división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales
(potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se
dividen con los números", "las letras con las letras iguales".
Por ejemplo:
4a - 8b + 6c =
Allí el factor común es 2, entonces divido todos
los términos por 2.
El resultado de esa división es:
2a - 4b + 3c
2.- Se aplica la Propiedad distributiva de
la división respecto de la suma y la resta.
Factor común entre letras:
Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay
que sacarlas con el menor exponente con que aparecen. Por ejemplo:
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4
- x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 -
x6)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que
restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base. Por
ejemplo:
x5:x2 = x5-2 = x3
Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.
Ejemplo 1:
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c +
3d)
Factor común en grupos o Segundo Caso:
¿Por qué se llama así el caso?
Porque se toman "grupos" de términos para sacar Factor Común entre ellos.
Reglas para el Segundo Caso:
El polinomio tiene que cumplir varias
condiciones para que se pueda aplicar el caso:
1. El número de términos debe ser par: 4 términos, 6 términos, 8 términos... (Para que se puedan armar grupos de igual cantidad de términos).
1. El número de términos debe ser par: 4 términos, 6 términos, 8 términos... (Para que se puedan armar grupos de igual cantidad de términos).
2. En todos los grupos que armemos tienen que haber Factor Común entre los términos que agrupamos.
3. Los "resultados" de sacar Factor Común en los distintos grupos deben dar iguales, o con los mismos términos desordenados y/u opuestos (con signo contrario)
¿Cómo tienen que ser los "resultados" para poder seguir con el caso?
Luego de agrupar y sacar Factor Común en los
grupos, los resultados tienen que ser de alguna de las siguientes formas:
1. Iguales. Por ejemplo, (x + 3) en un
agrupación, y (x + 3) en otra agrupación
2. Los mismos términos, pero desordenados. Por
ejemplo (x + 3) y (3 + x)
3. Los mismos términos, pero con los signos
contrarios. Por ejemplo, (x + 3) y (-x - 3). O también (x - 3) y (-x + 3)
4. Los mismos términos, pero desordenados y con
los signos contrarios. Por ejemplo: (x + 3) y (-3 - x). O también (x - 3) y (3
- x)
Ejemplo 1: (Todos los términos son positivos)
4a + 4b + xa
+ xb =
4.(a + b) + x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
Ejemplo 2: ("Resultado desordenado")
4a + 4b +
xb + xa =
4.(a + b) + x.(b + a) =
4.(a + b) + x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
Ejemplo 3: (Todos los términos son negativos)
-4a - 4b - xa
- xb =
-4.(a + b) - x.(a + b) =
(a + b).(-4 - x)
Trinomio cuadrado perfecto o Tercer Caso:
¿Por qué se llama así el caso?
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, a la potencia "2", dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar.
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.
¿Por qué se factoriza de esa manera?
Un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado".
Por ejemplo:
(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
1.- Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.
2.- Elevamos el primer termino al cuadrado.
3.- Se coloca el signo con el que se opera (en el ejemplo anterior se esta trabajando con signo positivo asi que se escribe +).
4.- Conseguir el doble producto del primer termino por el segundo (es decir 2.x.5).
5.- Elevamos al cuadrado el segundo término.
¿Cómo puedo verificar si factoricé bien?
Existen dos maneras:
1) Aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio ((a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2) al resultado que nos dió:
(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
2) Multiplicando dos veces por sí mismo al binomio resultado (que es lo mismo que elevar al cuadrado):
(x + 5).(x + 5) = x2 + 5x + 5x + 25 = x2 + 10x + 25
EJEMPLO 1: (Términos positivos)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
EJEMPLO 2: (Con el "1")
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
x 1
2.1.x
2x
Cuatrinomio Cubo Perfecto o Cuarto Caso:
¿Por qué el caso se llama Cuatrinomio Cubo Perfecto?
Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene de elevar al cubo un binomio, con la fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
¿Cómo me doy cuenta de cuándo puedo aplicar este caso?
Primero que nada el polinomio tiene que tener 4 términos. Después, tiene que haber términos que puedan ser potencia tercera de algo, como x3, 8, 1, a6, -27, etc. Cumplidas esas dos condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".
¿Qué condiciones tiene que cumplir el polinomio para ser "cubo perfecto"?
1) Tiene que tener dos términos que sean "cubos", es decir, potencia tercera de algo (número, letra o ambos). Por ejemplo, los siguientes términos son cubos:
x3
x6 porque (x2)3 es igual a x6
-x3 porque (-x)3 es igual a -x3
8 porque 23 es igual a 8
-1 porque (-1)3 es igual a -1
27 porque 33 es igual a 27
2) Y luego tiene que verificar los dos "triple-productos".
Esos "triple-productos" son los que están en la fórmula del cubo de un binomio:
3.a2.b y 3.a.b2
a y b son "las bases", es decir los números o letras que "provienen" de esos "cubos" que hallamos en el punto 1). Por ejemplo, si en nuestro polinomio estaba x3, la base es x. Si estaba el -8, la base es -2 (son las que siempre pongo en rojo); etc.
Luego, hay que multiplicar de esta manera: "El número 3, por una de las bases al cuadrado, por la otra base" (3a2b y 3ab2). Y el resultado tiene que coincidir con alguno de los términos del polinomio que queremos factorizar, tal como en el caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. En este Caso, debemos hacerlo dos veces:
- En una de ellas, ponemos una de las bases al cuadrado y la otra no (por ejemplo, la "a" al cuadrado y la "b" no).
- Y en la otra hacemos al revés (la "b" al cuadrado, y la "a" no).
Los dos resultados que obtenemos tienen que estar en el polinomio que estamos tratando de factorizar, incluso el signo (+ o -) debe coincidir.
Cumplidas estas dos condiciones, podemos decir que nuestro polinomio "cumple con el Caso", y lo podemos factorizar como "la suma de las bases, elevada a la tercera": (a + b)3.
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x
Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene de elevar al cubo un binomio, con la fórmula:
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
¿Cómo me doy cuenta de cuándo puedo aplicar este caso?
Primero que nada el polinomio tiene que tener 4 términos. Después, tiene que haber términos que puedan ser potencia tercera de algo, como x3, 8, 1, a6, -27, etc. Cumplidas esas dos condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".
¿Qué condiciones tiene que cumplir el polinomio para ser "cubo perfecto"?
1) Tiene que tener dos términos que sean "cubos", es decir, potencia tercera de algo (número, letra o ambos). Por ejemplo, los siguientes términos son cubos:
x3
x6 porque (x2)3 es igual a x6
-x3 porque (-x)3 es igual a -x3
8 porque 23 es igual a 8
-1 porque (-1)3 es igual a -1
27 porque 33 es igual a 27
2) Y luego tiene que verificar los dos "triple-productos".
Esos "triple-productos" son los que están en la fórmula del cubo de un binomio:
3.a2.b y 3.a.b2
a y b son "las bases", es decir los números o letras que "provienen" de esos "cubos" que hallamos en el punto 1). Por ejemplo, si en nuestro polinomio estaba x3, la base es x. Si estaba el -8, la base es -2 (son las que siempre pongo en rojo); etc.
Luego, hay que multiplicar de esta manera: "El número 3, por una de las bases al cuadrado, por la otra base" (3a2b y 3ab2). Y el resultado tiene que coincidir con alguno de los términos del polinomio que queremos factorizar, tal como en el caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. En este Caso, debemos hacerlo dos veces:
- En una de ellas, ponemos una de las bases al cuadrado y la otra no (por ejemplo, la "a" al cuadrado y la "b" no).
- Y en la otra hacemos al revés (la "b" al cuadrado, y la "a" no).
Los dos resultados que obtenemos tienen que estar en el polinomio que estamos tratando de factorizar, incluso el signo (+ o -) debe coincidir.
Cumplidas estas dos condiciones, podemos decir que nuestro polinomio "cumple con el Caso", y lo podemos factorizar como "la suma de las bases, elevada a la tercera": (a + b)3.
EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x
Diferencia de Cuadrados o Quinto Caso:
¿Por qué se llama "Diferencia de Cuadrados"?
Una "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de dos cuadrados". Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".
Una "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de dos cuadrados". Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".
¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?
1) El polinomio tiene que tener 2 términos.
2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x2 - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a6. Ya que es lo mismo que a6 - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivo y otro negativo, no importa el orden.
3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados". Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. En la próxima pregunta hago un resumen de las posibilidades a la hora de identificar un "cuadrado".
¿Cómo se factoriza una Diferencia de Cuadrados?Identifico las bases, y el resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:
a2 - b2 = (a + b).(a - b)
Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en la pregunta anterior. Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.
Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son: 25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)
a2 - b2 = (a + b).(a - b)
Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en la pregunta anterior. Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.
Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son: 25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)
EJEMPLO 1: (Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
EJEMPLO 2: (Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x a3b2
Suma o Resta de Potencias de igual grado o Sexto Caso:
¿Por qué se llama "Suma o Resta de Potencias de Igual Grado"?
Porque con este Caso de pueden factorizar aquellos polinomios que sean una suma o una resta de dos términos que sean potencias con el mismo exponente ("igual grado").
Por ejemplo:
x5 + y5
El polinomio precedente es una suma de potencias quintas. Son dos potencias con el mismo exponente: 5.
x3 - 8
Este polinomio es una resta de potencias terceras. Ya que 8 es igual a 23. Son dos potencias con el mismo exponente: 3
a8 - 1
Este polinomio es una resta de potencias octavas. Ya que 1 es igual a 18. Son dos potencias con el mismo exponente: 8
¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?
1) El polinomio tiene que tener 2 términos.
2) Los términos tienen que ser potencias con el mismo exponente. Pueden ser dos letras
(a3 + b3, por ejemplo), o una letra y un número (a3 + 8, por ejemplo). En el caso que haya un número, hay que pensar si el número es potencia con el mismo exponente que la letra. Por ejemplo:
x5 - 32
En el polinomio precedente, la x está elevada a la potencia quinta. Entonces, hay que pensar si el número 32 es potencia 5 de algún número. Como 32 es igual a 25, entonces 32 es también una potencia quinta. Entonces, puedo aplicar el Caso.
3) Si es una suma, las potencias deben ser impares (x3, x5, a7, a9, etc.).
(Las sumas de potencias pares no siempre se pueden factorizar. Y cuando se puede, hay que hacer algo diferente con las bases, y la división no hace por Ruffini. Entonces, en general se opta por no enseñar eso y no factorizar ninguna potencia par.
Por ejemplo: x4 + y4 no puede factorizarse con este Caso ni de ninguna otra manera. Pero hay casos de sumas de potencias pares que sí pueden factorizarse con este Caso, como las potencias sextas, novenas, y otros múltiplos de 3, de 5, o de los otros números impares. Por ejemplo: x6 + 64 se puede factorizar.
4) En general (dependiendo del Nivel, el Curso, etc.), no se factorizan con este Caso los polinomios que tienen un número junto a la primera letra. Y es porque no se enseña a aplicar la división de Ruffini en un caso así. Por ejemplo: 125x3 + 8. Sin embargo, el Caso sí se puede aplicar en ejemplos como ése, ya que es una suma o resta de potencias de igual exponente. El concepto que se utiliza es el mismo, solamente que podemos hacer la división de otra manera, o usar una Regla para hallar el cociente sin hacer la división. Como se suele usar exclusivamente la división de Ruffini en este Caso de Factoreo, en la enseñanza de este tema se descartan todos los polinomios en los que no se puede usar Ruffini o es más complicado hacerlo, para no tener que enseñar todo lo otro.
EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)
x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x 2
| 1 0 0 0 0 32
|
|
-2| -2 4 -8 16 -32
1 -2 4 -8 16 |0
Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16
Trinomio de Segundo Grado o Séptimo Caso:
¿Por qué se le llama "Trinomio de Segundo Grado"?
Porque sirve para factorizar polinomios de 3 términos ("trinomios"), cuyo grado sea 2. Por ejemplo: x2 + 3x + 2; 6x2 - x - 1, etc.
¿Por qué alguien le llamaría "Trinomio Cuadrado No Perfecto" a este Caso?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, y por eso se lo llama "Cuadrado Perfecto". Ese Tercer Caso no sirve para factorizar un Trinomio que no venga de usar esa fórmula, es decir que no sirve para factorizar un Trinomio que no sea en definitiva el "cuadrado" de un binomio. Y entonces, para factorizar esos otros trinomios que NO son cuadrado de un binomio, tenemos este Séptimo Caso, y por eso se nos podría ocurrir llamarlo "Trinomio Cuadrado No Perfecto". Porque sirve para factorizar a aquellos trinomios que, son de segundo grado (cuadrado), pero no son "perfectos cuadrados" de ningún binomio.
EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de "1")
2x2 - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2)
EJEMPLO 2: (Con fracciones)
1/3 x2 - 1/3 x - 2 = 1/3. (x - 3).(x + 2)
EJEMPLO 3: ("Bicuadrada")
x4 - 5x2 + 4 = (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2)
Factoreo con Gauss:
¿Qué dice el Teorema de Gauss?
¿Cuáles son los conceptos en que se basa este Caso?
POLINOMIO = DIVISOR X COCIENTE
Ahora ¿cómo encontramos un polinomio que divida exactamente al nuestro? Ése es el segundo concepto en que se basa el Caso: Un polinomio puede ser dividido exactamente por otro de la forma (x - x1), donde "x1" es una raíz de ese polinomio.
POLINOMIO = (x - x1). COCIENTE
Luego, para seguir factorizando, buscamos una raíz del cociente para factorizarlo a él. Y si la encontramos, dividimos de la misma forma. Y así nos va quedando:
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).COCIENTE2
Así seguimos hasta que queden todos binomios de grado 1 (no se pueden factorizar), o que no haya más raíces.
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).(x - x3)......ÚLTIMO COCIENTE
¿Y cómo encontramos todas esas raíces? Bueno, ahí es donde entra Gauss: Él es quien nos dice cómo, y eso ya lo expliqué en la pregunta anterior.
Ahora ¿cómo encontramos un polinomio que divida exactamente al nuestro? Ése es el segundo concepto en que se basa el Caso: Un polinomio puede ser dividido exactamente por otro de la forma (x - x1), donde "x1" es una raíz de ese polinomio.
POLINOMIO = (x - x1). COCIENTE
Luego, para seguir factorizando, buscamos una raíz del cociente para factorizarlo a él. Y si la encontramos, dividimos de la misma forma. Y así nos va quedando:
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).COCIENTE2
Así seguimos hasta que queden todos binomios de grado 1 (no se pueden factorizar), o que no haya más raíces.
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).(x - x3)......ÚLTIMO COCIENTE
¿Y cómo encontramos todas esas raíces? Bueno, ahí es donde entra Gauss: Él es quien nos dice cómo, y eso ya lo expliqué en la pregunta anterior.
EJEMPLO 1: (Con
coeficiente principal distinto de 1)
2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)
Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2
Posibles raíces del polinomio: k/a
Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),
(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.
Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:
| 2 -3 -11 6
|
|
-2| -4 14 -6
2 -7 3 | 0
Cociente: 2x2 - 7x + 3 Resto: 0
Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).
2x2 -
7x + 3 =2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)
Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2
Posibles raíces del polinomio: k/a
Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),
(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.
Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:
| 2 -3 -11 6
|
|
-2| -4 14 -6
2 -7 3 | 0
Cociente: 2x2 - 7x + 3 Resto: 0
Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).
Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:
| 2 -7 3
|
|
3| 6 -3
2 -1 | 0
Cociente: (2x - 1) Resto: 0
Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:
(x + 2).(x - 3).(2x - 1)
